Cuando los procesos estocásticos describen señales (funciones unidimensionales en el tiempo), es posible analizarlos según sus características espectrales, es decir, relativas a la frecuencia.
Esto es útil en aplicaciones de procesamiento de señales de todo tipo en la ingeniería eléctrica:
La densidad espectral de potencia de una señal aleatoria describe cómo está distribuida su potencia en todas las frecuencias.
La densidad espectral de potencia es conocida en inglés como PSD (Power Spectral Density)
Es posible interpretar $X^2(t)$ como la "potencia instantánea" en $t$ contenida en el proceso aleatorio $X(t)$, que es una familia de funciones del tiempo.
En teoría de circuitos, la potencia disipada en un resistor es \begin{equation} p_R(t) = i^2(t) R = v^2(t)/R \end{equation}
Sea $x_{T}(t)$ una porción de una función muestra $x(t)$ de $X(t)$, definida entre $-T$ y $T$, de modo que \begin{equation} x_{T}(t) = \begin{cases} x(t) & -T < t < T \\ 0 & \text{fuera del intervalo} \end{cases} \end{equation}
Si $T$ es finito, se supone que $x_{T}(t)$ cumple \begin{equation} \int_{-T}^{T} \vert x_{T}(t) \vert ~\mathrm{d}t < \infty \end{equation}
$x_T(t)$ tiene una transformada de Fourier $X_{T}(\omega)$ dada por \begin{equation} X_{T}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x_{T}(t) ~ e^{-j\omega t} ~\mathrm{d}t = \int_{-T}^{T} x(t) ~ e^{-j\omega t} ~\mathrm{d}t \end{equation}
En el intervalo $[-T,T]$ la energía $E(T)$ contenida en $x_T(t)$ es \begin{equation} E(T) = \int_{-\infty}^{\infty}x_{T}^2(t) ~\mathrm{d}t = \int_{-T}^{T}x^2 (t) ~\mathrm{d}t \end{equation}
La energía de $x_T(t)$ está relacionada con la de $X_{T}(\omega)$ por el teorema de Parseval, \begin{equation} E(T) = \int_{-T}^{T}x^2 (t) ~\mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\vert X_{T}(\omega) \vert^2 ~\mathrm{d}t \end{equation}
Al dividir ambas expresiones por $2T$, se obtiene la potencia promedio $P(T)$ en $x(t)$ sobre el intervalo $[-T,T]$: \begin{equation} P(T) = \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x^2(t) ~\mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\vert X_{T}(\omega) \vert^2}{2T} ~\mathrm{d}t \end{equation}
En esta ecuación, $\vert X_{T}(\omega) \vert^2 / 2T$ es una densidad espectral de potencia porque de la integración sobre todo $\omega$ se obtiene la potencia. \begin{equation} P(T) = \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x^2(t) ~\mathrm{d} t = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\vert X_{T}(\omega) \vert^2}{2T} ~\mathrm{d} \omega \end{equation}
Sin embargo, no es todavía la función que necesitamos, por tres razones:
Por lo anterior, la estrategia para encontrar la potencia promedio de $X(t)$ (denotada como $P_{XX}$) es hacer $P_{XX} = E[P(\infty)]$ \begin{equation} P_{XX} = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}E[X^2(t)] ~\mathrm{d}t \end{equation} y además \begin{equation} P_{XX} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{E[\vert X_{T}(\omega) \vert^2]}{2T} ~\mathrm{d}t \end{equation}
De aquí surgen las dos importantes conclusiones siguientes.
La potencia promedio $P_{XX}$ de un proceso estocástico
La estrategia para encontrar la potencia promedio de $X(t)$ (denotada como $P_{XX}$) es hacer $P_{XX} = E[P(\infty)]$ \begin{equation} P_{XX} = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}E[X^2(t)] ~\mathrm{d}t = A\{E[X^2(t)]\} \label{E:potencia_promedio} \end{equation}
Caso del proceso estacionario Para un proceso que es a lo menos estacionario en sentido amplio $E[X^2(t)] = \overline{X^2}$, una constante, con lo que $P_{XX} = \overline{X^2}$.
\begin{equation} \mathcal{S}_{XX}(\omega) = \lim_{T \rightarrow \infty}\frac{E[\vert X_{T}(\omega) \vert^2]}{2T} \label{E:densidad_espectral_potencia} \end{equation}
De aquí, $P_{XX}$ puede obtenerse con una integración en el dominio de la frecuencia como \begin{equation} P_{XX} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{S}_{XX}(\omega) ~\mathrm{d}t \label{E:potencia_psd} \end{equation}
Considere el proceso estocástico \begin{equation} X(t) = A\cos\left( \omega_{0}t + \Theta \right) \end{equation} donde $A$ y $\omega_{0}$ son constantes reales y $\Theta$ es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$. ¿Cuál es la potencia promedio $P_{XX}$ en $X(t)$?
La potencia promedio es el promedio temporal del valor cuadrático medio, que se calcula a continuación. Recordar la identidad trigonométrica $$\cos^2(x)= \frac{1}{2} (1 + \cos(2x))$$
\begin{equation*} \begin{aligned} E[X^2(t)] & = E[A^2 \cos^2 \left( \omega_{0}t + \Theta \right)] \\ & = E\left[ \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{2}\cos\left( 2\omega_{0}t + 2\Theta \right) \right] \\ & = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{2}{\pi}\cos\left( 2\omega_{0}t + 2\theta \right) ~\mathrm{d}\theta \\ & = \frac{A^2}{2} + \left( \frac{A^2}{2} \right)\left( \frac{2}{\pi} \right)\left. \frac{\sin(2\omega_{0}t + 2\theta)}{2} \right\vert_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ & = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{\pi}\left\{ \frac{\sin(2\omega_{0}t + \pi)}{2} - \frac{\sin(2\omega_{0}t)}{2} \right\} \\ & = \frac{A^2}{2} + \frac{A^2}{\pi}\left[ \frac{-2\sin(2\omega_{0}t)}{2} \right] \\ & = \frac{A^2}{2} - \frac{A^2}{\pi}\sin(2\omega_{0}t) \end{aligned} \end{equation*}
El promedio temporal de la función anterior es: \begin{equation*} \begin{aligned} A\left[ E[X^2(t)] \right] & = \lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\left[ \frac{A^2}{2} - \frac{A^2}{\pi}\sin(2\omega_{0}t) \right] ~\mathrm{d}t \\ & = \lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\left\{ \frac{A^2}{2}(2T) + \left. \left[ \frac{A^2}{\pi}\frac{\cos(2\omega_{0}t)}{2\omega_{0}} \right]\right\vert_{-T}^{T} \right\} \\ & = \lim_{T \rightarrow \infty} \left\lbrace \frac{1}{2T}\left( \frac{A^2}{2}2T \right) + \frac{1}{2T}\frac{A^2}{2\omega_{0}\pi}\left[ \cos(2\omega_{0}T) - \cos(-2\omega_{0}T) \right] \right\rbrace \end{aligned} \end{equation*}
\begin{equation*} P_{XX} = \frac{A^2}{2} \end{equation*}
Es equivalente a elevar al cuadrado el valor efectivo $V_{RMS} = A/\sqrt{2}$ de la onda.
En esta propiedad 6 existe el caso especial en el que $X(t)$ es al menos WSS.
¿Cuál es el espectro de potencia para el proceso aleatorio $X(t)$ con la siguiente autocorrelación? \begin{equation} R_{XX}(\tau) = \left( \frac{A^2}{2}\right) \cos(\omega_{0}\tau) \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} R_{XX}(\tau) & = \left( \frac{A^2}{2}\right) \left( \frac{1}{2}\right) \left( e^{j\omega_{0}\tau} + e^{-j\omega_{0}\tau} \right) \\ & = \frac{A^2}{4}\left( e^{j\omega_{0}\tau} + e^{-j\omega_{0}\tau} \right) \\ \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{S}_{XX}(\omega) & = \mathcal{F}\{R_{XX}(\tau)\} \\ & = \frac{A^2}{4}\left[ 2\pi\delta(\omega - \omega_{0}) + 2\pi\delta(\omega + \omega_{0}) \right] \\ & = \frac{\pi A^2}{2}\left[ \delta(\omega - \omega_{0}) + \delta(\omega + \omega_{0}) \right] \end{aligned} \end{equation}
Nivel de presión de sonido (SPL, Sound Pressure Level) es una medida relativa de la audición de un humano, dada por \begin{equation*} L_p = 10 \log \left( \frac{p^2}{p_{\mathsf{ref}}^2} \right) \end{equation*} donde
Así, se define \begin{equation} \mathcal{S}_{NN}(\omega) = \frac{\mathcal{N}_{0}}{2} \label{E:ruido_blanco} \end{equation} para ruido blanco, donde $\mathcal{N}_{0}$ es una constante positiva real.
Por la transformación inversa de Fourier, la autocorrelación de $N(t)$ es \begin{equation} R_{NN}(\tau) = \left( \frac{\mathcal{N}_{0}}{2}\right)\delta(\tau) \label{E:ruido_blanco_autocorrelacion} \end{equation} El ruido blanco deriva su nombre por analogía con la luz blanca, que contiene todas las frecuencias de luz visible en su espectro.
El ruido blanco no es realizable puesto que posee potencia promedio infinita: \begin{equation*} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{S}_{NN}(\omega) ~\mathrm{d}t = \infty \label{E:ruido_blanco_potencia} \end{equation*}
El ruido generado por la agitación térmica de electrones en cualquier conductor eléctrico tiene un espectro de potencia que es constante hasta muy altas frecuencias, y luego disminuye.
Por ejemplo, una resistencia a temperatura $T$ (en kelvin) produce un tensión eléctrica de ruido a través de sus terminales en circuito abierto con un espectro de potencia: \begin{equation} \mathcal{S}_{NN}(\omega) = \frac{\mathcal{N}_0}{2} \frac{\alpha \vert \omega \vert/T}{e^{\alpha \vert \omega\vert/T}-1} \end{equation} donde $\alpha = 7.64(10^{-12})$ kelvin-segundo es una constante. Las unidades de $\mathcal{S}_{NN}(\omega)$ son volt cuadrado por hertz. De acuerdo a la convención, se obtiene watt/hertz suponiendo la corriente por una resistencia de 1 $\Omega$.
A una temperatura de $T = 290^\circ$ K (usualmente llamada temperatura ambiente, a $17^\circ$ C), tal función permanece arriba de $0.9 (\mathcal{N}_{0}/2)$ para frecuencias hasta de $10^{12}$ Hz, o 1000 GHz. Así, el ruido térmico tiene un espectro casi plano en aquellas frecuencias que son usadas en sistemas de radio, microondas u ondas milimétricas.
El ruido que tiene un espectro de potencia constante y no nulo sobre una banda de frecuencia finita y cero fuera de ella, se llama ruido blanco de banda limitada. Así, un ruido descrito por el siguiente espectro de potencia constituye un ejemplo: \begin{equation} \mathcal{S}_{NN}(\omega) = \begin{cases} \displaystyle\frac{P\pi}{W} & \omega_{0}-(W/2) < \vert \omega \vert < \omega_{0} + (W/2) \\ 0 & \text{fuera de la banda} \end{cases} \end{equation} La transformación inversa da la autocorrelación correspondiente: \begin{equation} R_{NN}(\tau)=P\frac{\sin(W\tau)}{W\tau} \end{equation} La constante $P$ es la potencia del ruido.
El ruido blanco de banda limitada puede también ser pasabanda como el descrito por el siguiente espectro de potencia y respectiva función de autocorrelación: \begin{equation} \mathcal{S}_{NN}(\omega) = \left\{ \begin{array}{cl} \frac{P\pi}{W} & \omega_{0}-(W/2) < \vert \omega \vert < \omega_{0} + (W/2) \\ 0 & \text{fuera de la banda} \end{array} \right. \end{equation} \begin{equation} R_{NN}(\tau)=P\frac{\sin(W\tau/2)}{(W\tau/2)}\cos(\omega_{0}\tau) \end{equation} con $\omega_{0}$, $W$ constantes y $P$ la potencia en el ruido. Por analogía con luz de color con solamente una porción de las frecuencias de luz visible en su espectro, se define ruido de color como cualquier ruido que no es blanco.
Un proceso $N(t)$ de ruido WSS tiene una autocorrelación dada por: \begin{equation} R_{NN}(\tau) = Pe^{-3\vert \tau \vert} \end{equation} donde $P$ es una constante. ¿Cuál es su espectro de potencia?
\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{S}_{NN}(\omega) & = \int_{-\infty}^{\infty}Pe^{-3\vert \tau \vert}e^{-j\omega \tau} ~\mathrm{d}\tau \\ & = P\int_{0}^{\infty}e^{(-3 + j\omega)\tau} ~\mathrm{d}\tau + P\int_{-\infty}^{0}e^{(3-j\omega)\tau} ~\mathrm{d}\tau \\ & = \frac{P}{3 + j\omega} + \frac{P}{3 - j\omega} \\ & = \frac{6P}{9 + \omega^2} \end{aligned} \end{equation}
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